TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

Sabemos por definiciones y demostraciones realizadas anteriormente, que existen operaciones inversa, por ejemplo; la suma y la resta, la multiplicación y la división, la potenciación y radicación. Pues el Teorema Fundamental del Cálculo consiste intuitivamente que las operaciones de Integración y Derivación son operaciones inversas. Dicho Teorema es de gran importancia dentro del Análisis Matemático. Literalmente dice así el teorema:

Dada una función f integrable sobre el intervalo [a,b], definimos F sobre [a,b] por F(x) =

Si f es continua en cє( a , b), entonces F es derivable en c y F'(c) = f(c).

Sea y = f(x) y quien está representada mediante una curva. Para cada valor de x existe una función A(x) que representa el área bajo la curva. Ahora supóngase que se quiere calcular el área de dicha región entre x y x + h. Se podría hacer hallando el área entre 0 y x + h y luego restando el área entre 0 y x. es decir el área seria A(x + h)-A(x)

Por tanto, se dice que A(x + h)-A(x)

que es aproximadamente igual a f(x) · h, y que la precisión de esta aproximación mejora al disminuir el valor de h. En otras palabras, ƒ(x)·h ≈A(x+h) − A (x)

f(x) ≈ [ A(x+h) − A (x) ]/h

Cuando h tiende a 0, el miembro derecho de la ecuación es sencillamente la derivada A’(x) de A(x) y que el miembro izquierdo se queda en ƒ(x). Lo que se ha mostrado es que, calcular la derivada de una función y "hallar el área" bajo su curva son operaciones inversas.