Teorema Fundamental Del Cálculo

(SUMAS FINITAS)

Sea el intervalo [a, b]. Hagamos una partición de la siguiente manera: ∆x_{1 +} ∆x₂ + … + ∆x_n

Donde tendremos las siguientes restas:

∆x₁ = x₁ – x₀
∆x₂ = x₂ – x₁
.
.
.
∆x_n = x_n – x_n-1

Haciendo las sumas de las Δx:

_n

∑ Δx_k = (x₁- x₀) +(x₂- x₁)+ (x₃- x₂)+…+ (x_n-2- x_n-1)+ (x_n- x_n+1)

_k=1

Pero:

_n

∑ Δx_k = (x₁- x₀) +(x₂- x₁)+ (x₃- x₂)+…+ (x_n-2- x_n-1)+ (x_n- x_n+1)

_{k =1}

Al final obtenemos:

_n

∑ Δx_k = x_n- x<sub>0

k=1</sub>

Esto es porque para los l principios de cada sub-intervalos aparece un signo menos. Y para los puntos al final tenemos un signo mas, sólo el primero ( a = x₀) no es final de ninguno y el último (b = x_n) no es principio de ninguno.

En resumen el Teorema Fundamental del Calculo con diferencias finitas acentuando que no se utilizo el límite para dar una prueba.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

Sabemos por definiciones y demostraciones realizadas anteriormente, que existen operaciones inversa, por ejemplo; la suma y la resta, la multiplicación y la división, la potenciación y radicación. Pues el Teorema Fundamental del Cálculo consiste intuitivamente que las operaciones de Integración y Derivación son operaciones inversas. Dicho Teorema es de gran importancia dentro del Análisis Matemático. Literalmente dice así el teorema:

Dada una función f integrable sobre el intervalo [a,b], definimos F sobre [a,b] por F(x) =

Si f es continua en cє( a , b), entonces F es derivable en c y F'(c) = f(c).

Sea y = f(x) y quien está representada mediante una curva. Para cada valor de x existe una función A(x) que representa el área bajo la curva. Ahora supóngase que se quiere calcular el área de dicha región entre x y x + h. Se podría hacer hallando el área entre 0 y x + h y luego restando el área entre 0 y x. es decir el área seria A(x + h)-A(x)

Por tanto, se dice que A(x + h)-A(x)

que es aproximadamente igual a f(x) · h, y que la precisión de esta aproximación mejora al disminuir el valor de h. En otras palabras, ƒ(x)·h ≈A(x+h) − A (x)

f(x) ≈ [ A(x+h) − A (x) ]/h

Cuando h tiende a 0, el miembro derecho de la ecuación es sencillamente la derivada A’(x) de A(x) y que el miembro izquierdo se queda en ƒ(x). Lo que se ha mostrado es que, calcular la derivada de una función y "hallar el área" bajo su curva son operaciones inversas.

Propuesta De Investigación Educativa Para La Enseñanza Del Cálculo

¿Que es el infinito?¿podremos hacer alguna actividad infinitamente?, estas, junto con otras preguntas son hechas por el Doctor Cantoral, quien nos comenta que hay que ser mas analistas en el sentido de que el limite no es una parte esencial dentro del Cálculo, o por lo menos no como el que se le ha dado al momento.

Antes de continuar les comento que el Limite en pocas palabras es un proceso "infinito". Analizando un poco los siguientes conceptos:

• Derivada: es utilizada esencialmente para calcular pendientes.
• Integral: es utilizada para calcular áreas.

Con lo anterior planteó otra pregunta:¿es necesario utilizar un proceso infinito para resolver problemas de este tipo?, pues la respuesta, espero y no equivocarme, (y lo hago que me corrijan) es que no es necesario, ya que podemos resolver algún problemas mediante las llamadas Sumas Finitas.

Un ejemplo de ello es que podemos representar el famoso Teorema Fundamental Del Calculo mediante sumas finitas, pero eso sera en la siguiente entrada.

Como conclusión el infinito, como muchos autores lo definen es aquello que no se puede llegar hacer físicamente, por lo tanto la propuesta es que en lugar que enseñar al alumno el limite, hay que empezar con algo finito, esto para que no le de vueltas la cabeza pensando que esta utilizando el infinito, que en algunas mentes puede crear una confusion paradójica.

Presentacion

"La enseñanza del calculo", tema principal de la materia Matemática Escolar III, impartida por el Doctor Eduardo Cantoral Uriza en la Unidad Académica de Matemáticas, extensión Iguala al grupo de cuarto año en el octavo semestre de la Lic. en Matemática área: Matemática Educativa.

Como ya entes lo mencione en la descripción de este blog, es un producto de dicha materia en el cual se reflejarán algunos apuntes, temas en especifico y puntos de vista de su servidor. Por ello nos hemos apoyado con algunos autores reconocidos así como de buscadores dentro de la red. Enfatizó este punto ya que el Doctor Cantoral es fiel creyente de que el uso de las tecnologías es algo indispensables dentro de cualquier enseñanza.

En las siguientes entradas comenzaremos a hablar sobre el tema.